LE
FUNZIONI FRONTIERE DI PRODUZIONE
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Le funzioni di frontiera parametriche *
2 - Utilizzo
dei dati panel *
2.1
Stimatore within *
2.2
Lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati
(GLS) *
2.3
Lo stimatore di massima verosomiglianza (MLE) *
2.4
La stima dell'efficienza con dati panel *
Bibliografia *
In base a
quelle che possono essere le considerazioni sul
concetto economico di efficienza (a questo proposito
si veda la scheda su l’analisi delle perfomance
produttive) si possono definire funzione di frontiera
di produzione quei modelli per i quali la stima
dei parametri avviene vincolando alla non positività
dei residui, in maniera da ottenere per questo
via un modello coerente con la teoria economica
sulle funzioni di produzione. La funzione di produzione
è infatti una frontiera rappresentante
il massimo di output ottenibile da determinati
fattori quando essi vengono utilizzati nella maniera
più efficiente possibile, dato lo stato
della tecnologia (Richmond, 1976). È possibile
quindi osservare dei punti al di sotto
della frontiera, ma non punti che giacciono sopra
quest’ultima. Da questa posizione si evince che
l’ammontare con il quale ciascuna impresa si colloca
al di sotto della sua frontiera di produzione
può essere considerato come una misura
della sua efficienza (Forsund, Lowell e Schmidt,
1980)..
1
Le funzioni di frontiera parametriche
Il modello
parametrico per le frontiere di produzione è
stato introdotto in letteratura da [Ainger, Lovell
e Schmidt 1977].
Nei modelli
di frontiera stocastici si assume che l'output
sia limitato da una funzione di produzione stocastica.
Quindi possiamo scrivere
 
(1)
dove  rappresenta
un errore casuale. Assumendo che 
rappresenta la mancanza di output rispetto a quello
della frontiera, abbiamo
(2)
Quindi il
termine di errore  consta
di due parti, una rappresentante il disturbo e
l'altro rappresentante l'inefficienza tecnica.
È possibile
argomentare che la componente di errore dovuta
al caso 
rappresenta gli eventi al di fuori del controllo
delle imprese, come la fortuna o le condizioni
meteorologiche, mentre la  ,
cioè la componente di inefficienza, sia
controllabile dall'azienda. Se i due tipi di errori
sono assunti indipendenti tra loro e dagli inputs
e si è specificata una particolare forma
di distribuzione, la funzione di verosimiglianza
può essere definita e quindi si possono
calcolare stime MLE (massima verosomiglianza).
Ciò richiede di massimizzare la funzione
di verosomiglianza. I calcoli coinvolti non sono
banali, ma ciò non ostacola l'implementazione
empirica del modello. Inoltre è possibile
utilizzare una semplice stima mediante il metodo
dei minimi quadrati, e correggere l'intercetta
aggiungendo uno stimatore consistente di 
basato su un momento (il secondo o il terzo, nel
caso "half-normal") del quadrato dei residui.
(Schmidt, Waldman, 1980). Avendo stimato il modello
abbiamo ottenuto un valore per  .
Per misurare l'efficienza adesso abbiamo bisogno
di stimare
isolatamente. Una possibilità ovvia è
calcolare 
dai valori trovati di
e dai parametri.(Jondrow, Lovell, Materov e Schmidt,
1982).
Questi hanno
esplicitato una formula per il calcolo di 
nel caso "normal/half-normal". Questa, però,
non è una stima consistente di ui (la probabilità
limite di 
non è 0), poiché la variabilità
di 
non è conosciuta neanche quando tutte le
altre variabili sono state calcolate.
Come si è
visto utilizzando dati sezionali nella stima di
frontiere di produzione stocastiche, si incorre
nei seguenti problemi:
- l'inefficienza tecnica
di una particolare impresa non viene stimata
consistentemente. E infatti possibile stimare
l'intero termine di errore di una data osservazione,
ma in esso sono presenti sia l'inefficienza
tecnica, sia il disturbo stocastico. La varianza
della distribuzione dell'inefficienza tecnica,
condizionata all'intero termine d'errore, non
si annulla al crescere della numerosità
del campione.
- Una delle ipotesi su cui
si basa il modello è l'indipendenza dell'inefficienza
dei regressori. Questa ipotesi potrebbe essere
non corretta, infatti un'impresa che conosca
il suo livello di inefficienza molto probabilmente
interverrà sugli inputs per superare
il gap di inefficienza.
2
- Utilizzo dei dati panel
Nel caso di
dati panel, questi problemi sono potenzialmente
evitabili. Supponiamo di disporre di T osservazioni
nel tempo di ognuna delle N imprese. L'inefficienza
tecnica di una particolare impresa può
essere stimata consistentemente per T che tende
a  :
l'aggiunta di più osservazioni sulla stessa
impresa ci fornisce quindi un'informazione non
ottenibile all'aumentare del numero di imprese.
In secondo luogo, non sarà necessario assumere
ipotesi sulle distribuzioni, come non è
necessaria l'assunzione di incorrelazione tra
i regressori e l'inefficienza.
Vediamo ora
punto per punto come con i dati panel si risolvono
i problemi su specificati. Il modello ad una singola
equazione è:
 ,
 (3)
i = 1,...,N, t=1, ,T.
dove N il
numero delle aziende e t i periodi di tempo, 
è il prodotto e 
è il vettore delle quantità di k
input. I disturbi 
sono incorrelati con i regressori ,
mentre
( )
rappresenta l’inefficienza tecnica. Si assume
che le
siano v.c. i.i.d. come media 
e varianza 
e che siano indipendenti da .
L’ipotesi chiave di questo modello è che
l’inefficienza di ciascuna impresa sia invariante
nel tempo.
Ricordando
che  ,
si definisce
 ,
in modo che
le 
siano v.c. i.i.d. con media nulla.
Allora nel
modello
 
(4)
I residui
e
hanno
media nulla. Molti risultati della letteratura
panel saranno applicabili direttamente, eccetto
quelli che si basano sulla normalità dei
residui.
Definiamo
ora 
il modello
diventa
(5)
Si può
notare che i parametri della (5) possono essere
stimati attraverso OLS, trattando 
come il disturbo. La stima risultante di 
e 
sarà consistente per N che tende ad 
se gli effetti individuali ui sono incorrelati
con i regressori .
In letteratura
esistono diversi stimatori che risultano applicabili
al modello esposto, a seconda delle assunzioni
di ortogonalità trai regressori e gli effetti
individuali. Esaminiamo ora gli stimatori.
2.1
Stimatore within
Lo stimatore
within (Schmidt e Sickles,1984) tratta
i termini ui come fissi, cioè stima un'intercetta
separata per ogni impresa. Ciò si può
ottenere trascurando il termine costante ed aggiungendo
una variabile dummy per ognuna delle N
imprese. Un'altra procedura equivalente può
essere quella della applicazione della cosiddetta
trasformazione within: in sostanza si applica
una OLS dopo aver espresso i dati in termini di
scarti dalla media dell'impresa. In questo caso
le N intercette saranno date dalla media dei residui
dell'impresa.
Il vantaggio
principale dello stimatore within è
che la sua consistenza non si basa sull'incorrelazione
tra i regressori e gli effetti impresa. Inoltre
esso non dipende dalla distribuzione degli effetti,
poiché trattandoli come fissi, procede
condizionatamente alle loro realizzazioni, qualsiasi
esse siano.
Il suo limite
invece è dato dall'impossibilità
di includere nella specificazione del modello
regressori fissi nel tempo, anche se essi variano
tra imprese; in questo caso le stime dell'effetto
impresa includerebbero gli effetti delle variabili
che sono costanti entro il campione. Il metodo
within dà stime consistenti di 
se N e T divergono ad infinito.
2.2
Lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati
(GLS)
Se supponiamo
che gli ui siano random ed incorrelati
con i regressori, è possibile applicare
una stima dei minimi quadrati generalizzati (GLS).
La matrice degli errori dipenderà dalle
varianze di  e
. Se
le varianze sono note una GLS dà stime
consistenti dei parametri se N e T vanno a  .
Nel caso più realistico, cioè quando
le varianze degli errori non sono note, si può
fare ugualmente una stima GLS sulle varianze stimate.
Una stima consistente delle Varianze si ottiene
per N che tende a  .
È quindi intuibile che è raccomandabile
una stima GLS quando si ha un N abbastanza grande.
2.3
Lo stimatore di massima verosomiglianza (MLE)
Abbiamo visto
che con dati panel non è necessario
imporre ipotesi 'a priori sulle distribuzioni
di e
. Se
però vengono fatte delle assunzioni su
tali distribuzioni, si può ottenere un
incremento dell'efficienza delle stime attraverso
lo stimatore di massima verosomiglianza (MLE)
(Schmidt e Sickles, 1984).
Supponiamo
che
e
siano variabili casuali indipendenti ed identicamente
distribuite, con densità 
e  ,
e che le
e
siano indipendenti fra loro e con i regressori.
Se definiamo 
possiamo notare che le 
sono indipendenti al variare di i. In questo modo
possiamo scrivere la funzione di densità
congiunta di ( ):
dalla quale
segue la funzione di verosomiglianza da massimizzare:
L= 
Poiché
le stime di massima verosomiglianza sfruttano
l'informazione sulle distribuzioni di
e
si può dedurre che esse siano in generale
asintoticamente più efficienti degli stimatori
visti prima.
2.4
La stima dell'efficienza con dati panel
Il disturbo
associato all'osservazione di una data impresa,
coinvolge le differenze tra errori casuali tradizionali
 ed
una variabile casuale non positiva che viene associata
all'inefficienza  .
Vediamo come è possibile stimare l'inefficienza
nel caso di dati panel.
Battese e
Coelli (1988) definiscono l'efficienza tecnica
di un'impresa come il rapporto tra la sua produzione
media e la corrispondente produzione media che
l'impresa avrebbe realizzato se l'effetto individuale
fosse
stato pari a 0 (cioè se l'impresa fosse
stata efficiente).
Possiamo quindi
esprimere l'efficienza tecnica dell'impresa i-esima
come:
dove 
indica la produzione realizzata dall'impresa i
nel periodo t. Questa misura varia tra 0 ed 1;
quindi se il valore ottenuto è pari 0,9
significa che l'efficienza dell'impresa è
al 90% di quella massima.
L'efficienza
tecnica dell'impresa i può essere inoltre
espressa
 
dove 
rappresenta la media dei livelli dei fattori produttivi
per l'impresa i. Nel caso in cui si ipotizzi che
gli effetti individuali si distribuiscano secondo
una normale troncata, la corrispondente misura
(media) dell'efficienza del settore è:
dove 
è la moda della normale troncata, 
ne è la varianza e 
è la funzione di densità della normale
standard.
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