Schede
di analisi multivariata: L'analisi fattoriale
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1. Introduzione
2. Metodi di estrazione dei fattori
3. Il problema della rotazione dei
fattori
4. Determinatezza della soluzione
fattoriale
5. Gli sviluppi più recenti
nell'analisi multi-fattoriale: la matrice a tre
vie
Bibliografia
1.
Introduzione
L'analisi
fattoriale si pone l'obiettivo di riassumere l'informazione
contenuta in una matrice di correlazione o di
varianza/covarianza, cercando di individuare statisticamente
la dimensioni latenti e non direttamente osservabili
(Stevens, 1986). In sintesi si può dire
che se due variabili hanno una forte correlazione
con uno stesso fattore, una parte non trascurabile
della correlazione tra le due variabili si spiega
col fatto che esse hanno quel fattore in comune.
Fornendo, quindi, un principio di identificazione
di questi fattori comuni, l'analisi fattoriale
fornisce una descrizione in forma semplice, della
complessa rete di interpolazioni esistente nell'ambito
di un insieme di variabili associate. Questa descrizione
consente di definire, all'interno della matrice
di correlazione, un limitato numero di componenti
indipendenti l'una dall'altra e identificate nei
fattori: esse spiegano il massimo possibile di
varianza delle variabili contenute nella matrice
d'informazione originaria. Data, pertanto, una
matrice nxp contenente p variabili
rilevate su n unità, si tratta di
verificare in che misura ciascuna variabile costituisce
una ripetizione della descrizione effettuata dalle
rimanenti p-1 e, quindi, se esiste la possibilità
di raggiungere la stessa efficacia descrittiva
con un numero minore di variabili non osservate
dette, appunto, fattori.
Un esempio
può essere rappresentato dall’analisi di
un settore produttivo utilizzando dati tratti
da archivi fiscali, in questo caso ci troviamo
di fronte al problema della scelta delle variabili
da considerare.
Da un lato,
si potrebbero usare le 5/6 macro-variabili (fatturato,
consumi intermedi, risultato lordo di gestione,
ecc.), anche se probabilmente scaturirebbe un'immagine
indistinta delle imprese. Dall'altro lato, scendendo
al livello dei righi delle dichiarazioni dei redditi
utilizzeremmo un'informazione ridondante, e quindi
di più difficile lettura, sull'attività
aziendale. Con l'analisi fattoriale si trova una
soluzione intermedia, in quanto partendo da un
insieme anche ampio di variabili essa consente
una semplificazione del patrimonio informativo
mettendo in luce le caratteristiche distintive
latenti delle contabilità aziendali.
2.
Metodi di estrazione dei fattori
Le dimensioni
latenti possono essere determinate in vari modi
grazie alle svariate tecniche di estrazione dei
fattori di cui l'analisi dei fattori si avvale.
Tra le più utilizzate ricordiamo: l'analisi
delle componenti principali, l'analisi dei fattori
principali, l'analisi fattoriale canonica che
per le caratteristiche dei loro algoritmi vengono
definite "Variance-oriented" (Kim e Mueller, 1978).
1. Analisi
delle componenti principali. Il metodo delle
componenti principali si propone di sostituire
le p variabili date con un certo numero
di variabili (tra loro non interdipendenti), ottenute
come trasformazione lineare delle variabili originarie,
riducendo così il numero di variabili necessarie
a descrivere un certo ambito. Si tratta cioè
di ricercare una serie di trasformate della matrice
originaria dette, appunto, componenti principali,
che spieghino quanta più parte possibile
della varianza delle variabili originarie e che
siano tra loro ortogonali. É possibile
estrarre tante componenti quante sono le variabili
originarie, quando però lo scopo è
quello di conseguire un'economia nella descrizione
in termini quantitativi di un certo fenomeno il
risultato fornito dall'applicazione del metodo
è tanto più utile quanto minore
è il numero di componenti prese in considerazione.
In genere il processo viene arrestato non appena
la parte di varianza delle p variabili
estratte dalle prime q componenti è
sufficientemente grande. A tal pro un test comunemente
usato per la scelta del numero di componenti da
considerare, che utilizza la matrice della varianza
e covarianza tra le variabili standardizzate,
è quello di Bartlett (1950).
2. Analisi
dei fattori principali. Il modello fattoriale
classico invece prevede p fattori comuni
a tutte le p variabili più un fattore
specifico per ogni variabile. L'obiettivo è
quello di trasformare la matrice di variabili
originaria in una che contenga il più possibile
di fattori allo scopo di eliminare eventuali ridondanze
presenti nelle variabile. Poiché i fattori
comuni sono assunti essere variabili normalmente
distribuite con varianza unitaria, essi non sono
determinabili univocamente, e di conseguenza non
lo sono neanche i vettori. Questo metodo estrae
q<p di fattori comuni considerati è
sufficiente a racchiudere l'informazione fornita
dalle p variabili originarie è quella
di fissare una certa quota V di varianza
delle variabili e considerare solo i primi q
fattori se la quota di varianza cumulata estratta
da questi è maggiore di V.
3. Analisi
fattoriale canonica. Il principio che guida
questa analisi è di trovare una soluzione
fattoriale nella quale la correlazione tra il
set di ipotetici fattori e il set di variabili
è massimizzata. Il metodo parte dalla considerazione
di due serie di variabili Z e X,
la prima contiene una batteria di p variabili
osservate e X contiene invece q variabili
ortogonali incognite, le cui trasformate, opportunamente
ridotte in forma standardizzata, costituiscono
le colonne della matrice dei fattori da determinare.
Ovviamente,
la scelta di un metodo comporta assunzioni ed
obiettivi diversi.
L'analisi
delle componenti principali genera soltanto
uno spostamento del sistema di riferimento in
corrispondenza del baricentro, in pratica viene
cambiato esclusivamente il punto di osservazione
del collettivo allo studio.
L'analisi
dei fattori principali implica la specificazione
di un modello di stima delle variabili latenti.
Si apre perciò la necessità di esplorare
le conoscenze disponibili a priori sul
settore artigiano per definire il modello.
L'analisi
fattoriale canonica si scosta poco dalla precedente,
ma essa opera sulla matrice di correlazione parziale
invece che sulla matrice di correlazione totale
delle variabili. In presenza di un ristretto ventaglio
di variabili osservate sulle unità, essa
consente di legare più nitidamente i fattori
latenti ad esse.
3.
Il problema della rotazione dei fattori
Il problema
della rotazione si pone perché le variabili
possono venir saturate in modo pressoché
uguale da diversi fattori: la rotazione si sostanzia
nella riduzione dei pesi fattoriali che nella
prima fase erano già relativamente piccoli
e nell'incremento, sia positivo che negativo,
dei valori dei pesi fattoriali che erano preponderanti
nella prima fase. Infatti, la matrice delle saturazioni
non presenta un'unica soluzione e, attraverso
la sua trasformazione matematica, si possono ottenere
infinite matrici dello stesso ordine. È
per questo che i fattori vengono trasformati o
analizzati mediante un procedimento di rotazione
degli assi. In una soluzione non ruotata, infatti,
ogni variabile è spiegata da due o più
fattori comuni, mentre in una soluzione ruotata
ogni variabile è spiegata da un singolo
fattore comune.
Si dispone
attualmente di vari metodi di rotazione che possono
essere suddivisi essenzialmente in due gruppi:
quelli che producono "rotazioni ortogonali dei
fattori" e quelli che invece considerano "rotazioni
oblique". Il vincolo dell'ortogonalità
è stato criticato, in quanto si sostiene
che le dimensioni fondamentali possono essere
tra loro interdipendenti sono stati, quindi, messi
a punto una serie di metodi di rotazione obliqua
nei quali gli assi, presi a due a due, sono lasciati
liberi di disporsi in modo da formare un angolo
o maggiore o minore di 90 gradi. La pluralità
di queste tecniche di rotazione dei fattori provoca
una indeterminatezza nella soluzione fattoriale,
poiché non è possibile stabilire
quale delle rotazioni sia migliore in assoluto;
e questo non solo per la scelta tra rotazione
obliqua e rotazione ortogonale, ma anche all'interno
dei due tipi di rotazione. Un criterio di sicuro
effetto è quello di confrontare tra loro
i risultati di diverse applicazioni e scegliere
quella che meglio si adatta ai risultati osservati.
4.
Determinatezza della soluzione fattoriale
Una soluzione
fattoriale è determinata se i fattori comuni
che si adattano al modello sono unici. La condizione
di indeterminatezza implica che insiemi contraddittori
di punteggi fattoriali risultano ugualmente plausibili
e che la scelta di una soluzione piuttosto che
di un'altra è arbitraria. Nell'analisi
fattoriale l'indeterminatezza si verifica a due
livelli:
- nell'accettazione della
soluzione che soddisfa il modello in senso statistico;
- nella ricerca di una soluzione
più facilmente interpretabile di quella
ottenuta in prima istanza (Guilford, Hoepfner
1971).
Su queste
considerazioni il dibattito sviluppatosi tra gli
studiosi di analisi fattoriale è stato
assai intenso (Morrison, 1976; Diday et al.ii,
1994): se e poiché nelle applicazioni pratiche
l'analisi delle componenti e quella dei fattori
danno risultati del tutto simili, una volta stabilite
le convenzioni della procedura (e cioè
gli assunti), l'indeterminatezza del modello fattoriale
è solo logica e non più statistica
(Fabris, 1983). Nell'ambito delle analisi esplorative
condotte per trarre informazioni sulla struttura
latente dei dati osservati, ma anche per gettare
un ponte verso strutture informative esterne (e
collegate) a quelle presenti nel modello, il disporre
di più interpretazioni mutuamente consistenti
può essere considerata una situazione di
privilegio e non di svantaggio.
Una altro
problema di notevole interesse è la determinazione
del numero probabile dei fattori. Infatti, il
rapporto tra numero di fattori q e il numero
di variabili osservate p permette di misurare
la determinatezza dei fattori comuni e specifici
in termini matematici (Shonemann, Wang 1972).
Vale in generale che:
- all'aumentare del numero
di variabili sotto studio è necessario
incrementare il numero di fattori al fine di
ottenere una buona interpolazione del modello
di analisi;
- all'aumentare del numero
dei fattori estratti, cresce il rischio di indeterminatezza
della soluzione.
Nella ricerca
empirica di tipo esplorativo è ammissibile
l'adozione di uno dei seguenti criteri:
- la varianza spiegata dai
fattori. Se la selezione delle variabili non
è casuale ma, come si verifica spesso,
si inseriscono per prime quelle ritenute più
appropriate per il modello che il ricercatore
ha in mente, è ragionevole supporre che
la comunanza delle variabili aggiunte sia proporzionalmente
inferiore a quella delle variabili introdotte
in precedenza e che il numero dei fattori richiesti
per raggiungere la stessa frazione di varianza
spiegata sia relativamente più elevato.
- Kaiser (1960) raccomanda
di considerare solo i fattori di una matrice
di correlazione ai quali è associato
un autovalore maggiore o tuttalpiù
uguale a 1. Il numero di tali fattori dovrebbe
variare tra 1/6 e 1/3 del numero di variabili.
Si tratta di un criterio permissivo perché
considera significativo, e include nel modello,
un fattore purché spieghi più
varianza di quanto non ne introduca una singola
variabile, valore che in una matrice di correlazione
è appunto uguale a 1.
- La rappresentazione
grafica degli autovalori (in ordinata) contro
l'ordine di estrazione dei fattori (in ascissa)
dà un'immagine dell'importanza relativa
dei primi autovalori nella sequenza ricavata.
Si escludono i fattori i cui valori appartengono
alla spezzata che corre quasi parallela.
- La scelta delle comunanze.
Il sostituire i valori sulla diagonale principale
della matrice di correlazione con le comunanze
determina l'estrazione di un numero di fattori
inferiore al rango della matrice.
- La verifica dell'ipotesi
di significatività dell'adattamento del
modello fattoriale ai dati di partenza, e cioè
la determinazione del numero q di fattori comuni
significativi. Nel caso in cui la stima dei
pesi fattoriali sia effettuata in base al criterio
della massima verosimiglianza (Joreskog, 1967),
si calcola la statistica Uq. La statistica-test
Uq ha una distribuzione che approssima quella
del 2 e quindi il suo valore lo si confronta
con il valore di un 2 e se supera il valore
critico si rigetta l'ipotesi di esistenza di
q fattori, se non lo si supera lo si accetta.
5.
Gli sviluppi più recenti nell'analisi multi-fattoriale:
la matrice a tre vie
L'analisi
fattoriale è una metodologia statistica
che ha conosciuto, negli anni recenti, consistenti
e importanti sviluppi. L'importanza di migliorare
le proprietà delle tradizionali tecniche
multivariate di analisi dei dati e la necessità
pratica di arrivare allo sviluppo di un'analisi
multivariata che riduca la perdita di informazioni
indotta dalla decomposizione della matrice multiway
in molte matrici two-way hanno portato a sviluppare
in modo consistente l'analisi multiway (Hayashi,
1988). Nonostante queste metodologie di analisi
dei dati siano una branca relativamente nuova
della statistica metodologica, è comunque
notevole la ricchezza di studi che affrontano
i problemi delle analisi multiway e consistente
la varietà di tecniche proposte per dare
soluzione ai conseguenti problemi computazionali
e algebrici (Carrol, Chang, 1970; Kruskal, 1978,
1981; Tucker, 1963, 1964, 1966). Nell'analisi
multiway un interesse particolare ha avuto,
per l'evidente carattere esemplificativo, l'analisi
delle matrici a tre vie con tecniche fattoriali.
Una grande quantità di studiosi hanno affrontato,
negli ultimi anni, il problema delle matrice a
tre vie (Kroonenberg, 1983) arrivando a formulare,
essenzialmente, la proposta di due tipi di modelli:
modelli fissi e modelli stocastici. Infatti, usando
la terminologia classica, se denotiamo con xijk
(i,j,k) I * J * K il punteggio dell'individuo
i per la variabile j sull'occasione
K, possiamo distinguere tra metodi che si propongono
una analisi della stabilità attraverso
lo studio di una prossimità stabile o media
fra gli individui i e/o lo studio della
relazione tra le variabili j dopo avere
rimosso l'influenza dell'occasione k (Banet,
Lebart, 1984; Tehenaus, 1986) e quei metodi che
propongono analisi del cambiamento attraverso
studi del cambiamento nelle prossimità
fra individui i, studio del cambiamento
delle relazioni fra variabili j, studio
dei cambiamenti delle variabili o degli individui,
eventualmente attraverso una matrice a via media
(Escoufier, 1973; Glacon, 1981 e Lavit, 1988).
Bibliografia:
Banet T.A.,
Lebart L. (1984), "Local and partial principal
component analysis", COMPSTAT '84.
Carrol J.D.,
Chang J.J. (1970), Analysis of individual differences
in multidimensional scaling via an N-way generation
of "Eckart-Young" decomposition, Psychometrica
n.35.
Coppi R.,
Bolasco S. (1989), Analysis of multiway data
matrices, Elsevier.
Diday et al.ii,
(1994), New approaches in classification and
data analysis, Springer Verlag, New York.
Escoufier
Y. (1973), Le traitement des variables vectorielles,
BIOMETRICS, n.29.
Glacon F.
(1981), Analyse conjointe de plusieurs matrices
de donnees, USM, Grenoble.
Guilford J.P.,
Hoepfner R. (1971), The analysis of intelligence,
Mc Graw-Hill, New York.
Lavit C. (1988),
Analyse conjointe de tableaux quantitatifs,
Masson.
Hayashi C.
(1988), New Develepmonents in Multidimensional
Data Analysis, recent developments in clustering
and data analysis, Academic Press, New York.
Law H.G.,
Snyder Jr., Hattie J.A, Mc Donald R.P. (1984),
Research methods for multimode data analysis,
Preager, New York.
Lawley D.,
Maxwell A.E. (1980), Factor analysis as statistical
method, Griffin, London.
Joreskog K.G.
(1967), Some contributions to maximum likelihood
factor analysis, Psyconometrica.
Kier H. (1989),
Comparison of anglo-saxon and french three
mode methods, A paratre dans Statistique et
Analyse de Donnes.
Kim J.O.,
Mueller C.W. (1978), Factor analysis: statistical
methods and practical issues, Sage Pubblications.
Kruskal J.B.
(1977), Three-way arrays: rank and uniqueness
of trilinear decomposition with application to
arithmetic complexity and statistics, Linear
Algebra and Its Application n. 18.
Kroonenberg
P.M. (1983), Three-mode principal component
analysis: theory and application, Leiden.
Morrison D.F.
(1976); Multivariate statistical method,
Mc Graw-Hill, New York.
Mulaik S.A.
(1972), The foundations of factor analysis,
Mc Graw Hill, New York.
Sadocchi S.
(1980), Manuale di analisi statistica multivariata,
F. Angeli, Milano.
Shonemann
P.H., Wang M.M. (1972), Some new results on
factor indeterminacy, Psycometrika.
Stevens J.
(1986), Applied multivariate statistics for
the social sciences, Hillsdale.
Tenenhaus
M. (1986), Generalized canonical analysis,
canonical nalysis and applcations, Les cahiers
de recherche.
Tucker L.R.
(1963), Implication of factor analysis of three-way
matrices matrices for measurement of change, problems
in Measuring Change. University of Wisconsin
Press.
Tucker L.R.
(1964), The extension of factor analysis to
three-dimension matrices. Contributions to Mathematical
Psicology, Frederiksen N., Holt, Rinehart
and Winston.
Tucker L.R.
(1966), Some mathematical notes on three-mode
factor analysis, Psychometrica, 31. |
